51nod 1524 可除图的最大团 题解

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题意简述

有一个长度为$n$的序列$a$，$n<=1e6$。根据这个序列生成一个无向图：若$a[u]$和$a[v]$中一个是另一个的倍数，那么$u$到$v$连一条无向边。请你求出这个图的最大团（最大子完全图）。

思路框架

设$dp[i]$表示以$i$为最小值的图的最大团。先dp[i]=1，然后dp[i的倍数]=max(dp[i的倍数]，dp[i])即珂。这样更新是O(n/1+n/2…+n/n)=O(nlogn)的。（关于这个，自己百度“调和级数”，看它减去nlogn的收敛性）。

具体思路

为什么我们能想到这样的dp呢？首先，如果$a$到$b$有连边，$b$到$c$有连边，那么$a$到$c$也有连边。同理推得，我们只要找到一条递增的链使得长度最长即珂。因为只要有一条链，那就肯定有一张完全图。

然后最长链问题，就直接DP出来了。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 1666666
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    int n,a[N];
    void Input()
    {
        R1(n);F(i,1,n) R1(a[i]);
    }

    int dp[N];
    void Soviet()
    {
        sort(a+1,a+n+1);
        FK(dp);
        F(i,1,n)
        {
            dp[a[i]]++;
            Fs(j,2*a[i],1000000,j+=a[i])
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[a[i]]);
            }
        }
        printf("%d\n",*max_element(dp+1,dp+1000001));
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}
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