51nod 1963 树上NIM游戏 题解

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题意简述

多组数据，每次给定一个有$n(<=3e5,\sum n<=1e6)$个节点的树，每个点有点权。两个人玩$Nim$游戏，两人轮流操作。每次操作，珂以把一个点上$>=1$个点权移动到父亲上，如果有一个不能操作了，这个人就输了。判断先手是否会赢。

思路框架

深度为奇数的点权异或起来，如果非0，先手必胜。

具体思路

首先我们要把这个问题转换成$Nim$游戏。

然后我们要知道一个模型，叫阶梯$Nim$游戏。其规则和这个题类似，只不过是序列上的问题，每个点$i$珂以把$>=1$个点权移动到$i-1$位置上。

然后这个问题的解，就是把奇数位置异或起来，非零则先手必胜。

知道这个之后，转换成树上，水的鸭皮。

但是如何证明这个序列上的问题呢？

证明

  1. 先手必胜

此时先手就会逼迫后手进行Nim游戏。先手最理想的$Nim$游戏是，先手只动奇数的位置，那么这个结论就是成立的。但是后手显然不会傻傻的让先手玩$Nim$游戏，动了偶数位置，那么先手只要把后手移动的这堆再往前移动一个位置，那就没有区别了。这就是先手的“逼迫”过程。这样，后手没有办法，只能乖♂乖玩$Nim$游戏，等死了。

  1. 后手必胜

同上，后手会逼迫先手进行$Nim$游戏。先手动偶数位置，后手只要再动一次即珂。所以，和上面类似，先手也只能等死了。

证毕

然后这个题就被切了。

实现注意

  1. 题目中有说fa[i]小于i，所以我们连搜都不用搜，倒着循环一遍即珂

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 1666666
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)

    int n;
    int fa[N];
    int val[N];
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Input()
    {
        R1(n);
        F(i,1,n-1) R1(fa[i]);
        F(i,0,n-1) R1(val[i]);
    }

    int deep[N];//deep%2
    void Soviet()
    {
        F(i,1,n-1) deep[i]=deep[fa[i]]^1;
        int s=0;
        F(i,0,n-1) if (deep[i]) s^=val[i];//奇数位置异或和
        puts(s?"win":"lose");//非零则先手赢
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        int t;R1(t);
        while(t--)
        {
            Input();
            Soviet();
        }
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}
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