Atcoder agc35c(5140) Skolem XOR Tree 题解

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题意简述

给定一个$n<=1e5$，构造一颗$2n$个节点的数。其中，点$i$和$i+n$上都带点权$i$，并且满足：
对于$1<=i<=n$，$i$到$i+n$的路径上（包括两端点），所有点权的异或和为$i$。

举例：
i=3，构造图如下：

其中，4,5,6的点权分别是1,2,3。不难验证，满足题设条件。

如果无解，输出No。

思路

当且仅当$n=2^x$时，无解。（x为自然数）

先构造一个上面样例的图。

然后，如这个图所示：
。
如果$n$是奇数，就把$(4,5)$，$6,7$，$8,9$…$(n-1,n)$都按这样的构造，连接到点$1+n$上就珂以了。
如果$n$是偶数，先把前$n-1$个点按照这样的方式构造一颗树。然后考虑$n$和$2n$。找到比$n$小的最大的$2$的幂$p$，显然，$p->1->(n^p^1)$，这条路径的异或和为$n$。并且，这条路径存在（已证）。那么，我们把$n$链接到$p$上，把$2n$链接到$n^p^1$上，即珂。

代码

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#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 155555
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Rd(int cnt,...)
    {
        va_list args;
        va_start(args,cnt);
        F(i,1,cnt) 
        {
            int* x=va_arg(args,int*);R1(*x);
        }
        va_end(args);
    }

    int n;
    void Input()
    {
        R1(n);
    }
    void Add(int u,int v){printf("%d %d\n",u,v);}
    void Soviet()
    {
        F(i,0,20) if ((1<<i)==n)
        {
            puts("No");return;
        }
        puts("Yes");
        Add(1,2);
        Add(2,3);
        Add(3,n+1);
        Add(n+1,n+2);
        Add(n+2,n+3);
        Fs(i,5,n,i+=2)
        {
            Add(1+n,i);
            Add(i,i-1);
            Add(1+n,i-1+n);
            Add(i-1+n,i+n);
        }
        if (n%2==0)
        {
            int p2;
            F(i,0,20) if ((1<<i)<n) p2=(1<<i);

            Add(n,p2+n);
            Add(2*n,n^p2^1);
        }


    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main(){
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}
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