Codefoeces 351B Jeff and Furik 题解

题意简述

给定一个长度为$n(<=5000)$的序列$a$，还有两个人。第一个人会选择一对相邻的逆序对交换，第二个人会抛硬币（假设是完全等概率的）决定是交换一对相邻逆序对还是交换一对相邻顺序对（顺序对，即不是逆序对的一对数）。求期望多少步排好序。

思路

设逆序对数为$x$，若$x$为偶数，答案为$2x$，否则答案为$2x-1$。

具体思路

设$dp[i]$表示逆序数量为$i$变成有序的期望步数。随机玩的那个人有一半的概率会减少一个逆序对，有一半的概率会增加一个逆序对。再加上第一个人，那么就是：

每两次，有一半的概率不变，有一半的概率减少两个。

那么

$$dp[i]=0.5\times dp[i]+0.5\times dp[i-2]+2\\ 0.5\times dp[i]=0.5\times dp[i-2]+2\\ dp[i=dp[i-2]+4\\$$

边界:$dp[0]=0,dp[1]=1$

然后这样暴力算出前几项，或者感性理解一下这个转移式，就会发现：

$$dp[i]= \begin{cases} 2*i\qquad\quad\ \ (i\%2=0)\\ 2*i-1\qquad(i\%2=1) \end{cases}$$

然后我们发现出题人很友好，$n<=5000$，求逆序对珂以暴力求过去。

实现注意

这么sb还有什么实现注意？这个题的代码能力水平基本上刚学一个月都会写，关键在推式子。。。

代码：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
	#define N 155555
	#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
	#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
	#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
	#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
	#define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
	#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
	#define FK(x) MEM(x,0)
	int n,a[N];
	void R1(int &x)
	{
	    x=0;char c=getchar();int f=1;
	    while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
	    while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	    x=(f==1)?x:-x;
	}
	void Input()
	{
		R1(n);
		F(i,1,n) R1(a[i]);
	}
	void Soviet()
	{
		int ans=0;
		F(i,1,n)
		{
			F(j,1,i-1)
			{
				if (a[j]>a[i]) ++ans;
			}
		}
		printf("%.6f\n",2.0*ans-1.0*(ans%2));
	}
	void IsMyWife()
	{
		Input();
		Soviet();
	}
}
int main()
{
	Flandre_Scarlet::IsMyWife();
	getchar();getchar();
	return 0;
}