Codeforces 1240C Paint the Tree 题解

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题意简述

给定一个有$n$个节点的树，$n<=5e5$。每个点只能染精确的$k$种颜色，有无限种颜色珂供选择，但是每种颜色不能出现超过两次。如果一条边连接的两个点的两个颜色中有至少一个共同的，这条边就会产生它边权的权值。合理分配使权值最大，输出最大的权值。

思路框架

设$dp[i][0/1]$表示以$i$为根，是/否选择$i$到$i$的父亲那一条边，的最大权值和。转移即珂。

具体思路

分两个部分。

Part 1. 状态

那么我们为什么这么设状态呢。。。

套路

原因是这样的，我们一开始肯定能想到设前面的$dp[i]$表示以$i$为根的答案。但是，如果只有这个，我们很难判断一个儿子是否能连上来，因为要连上来就需要有一个颜色与父亲对应，而和儿子只能用$k-1$个颜色，这状态就不对，或者说，我们少一个状态。

所以我们考虑设$dp[i][0/1]$，加上后面那一维。

Part 2. 转移

首先，把所有儿子的$dp[son][1]$加起来显然是一种选择。记这个默认值为$S$。

然后我们发现，还珂能有儿子连到父亲的边的情况。这种情况，就是$dp[son][0]+w$，$w$是这条边的边权。如果这种情况的确更好，我们要把$son$这个儿子的默认值$dp[son][1]$换成$dp[son][0]+w$，对$S$的影响很显然就是$S=S-dp[son][1]+dp[son][0]+w$。但是我们能接到儿子的边最多就只有$k$条，因为我们现在考虑的$u$点只能染$k$种颜色。

那咋整嘛。也好办，我们把后半部分$dp[son][0]+w-dp[son][1]$记下来，从大到小排个序。如果是$dp[i][1]$，选前面$k$个即珂；但是$dp[i][0]$只能选前面$k-1$个，因为还有留一个给父亲。当然，如果这个值是负的，说明选了之后不会更优。一个是负的，后面肯定都是负的了，于是直接 $break$掉，不管了。

然后就结束了

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 1666666
    #define lovelive long long 
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)

    class Graph
    {
        public:
            int head[N];
            int EdgeCount;
            struct Edge
            {
                int To,Label,Next;
            }Ed[N<<1];
            void clear(int _len) 
            {
                memset(Ed,-1,sizeof(Edge)*(_len+10));
                memset(head,-1,sizeof(int)*(_len+10));
                EdgeCount=-1;
            }
            void AddEdge(int u,int v,int w=1)
            {
                Ed[++EdgeCount]=(Edge){v,w,head[u]};
                head[u]=EdgeCount;
            }
            void Add2(int u,int v,int w=1) {AddEdge(u,v,w);AddEdge(v,u,w);}
            int Start(int u) {return head[u];}
            int To(int u){return Ed[u].To;}
            int Label(int u){return Ed[u].Label;}
            int Next(int u){return Ed[u].Next;}
    }G;

    int n,k;
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Input()
    {
        R1(n),R1(k);
        G.clear(n);
        F(i,1,n-1)
        {
            int u,v,w;R1(u),R1(v),R1(w);
            G.Add2(u,v,w);
        } 
    }

    lovelive dp[N][2];
    //0: choose father
    //1: don't choose father
    void DFS(int u,int f)
    {
        lovelive sum=0;
        vector<lovelive> son;son.clear();
        Tra(i,u)
        {int v=__v;
            if (v!=f)
            {
                DFS(v,u);
                int d=dp[v][0]+G.Label(i)-dp[v][1];
                sum+=dp[v][1];
                son.push_back(d);
            }
        }
        dp[u][0]=dp[u][1]=sum;
        sort(son.begin(),son.end(),greater<lovelive>());
        F(i,0,min(k-1,(int)son.size()-1))
        {
            int v=son[i];
            if (v>0)
            {
                dp[u][1]+=v;
                if (i<k-1) dp[u][0]+=v;
            }
        }
    }
    void Soviet()
    {
        F(i,1,n) dp[i][0]=dp[i][1]=0;
        DFS(1,1);
        printf("%I64d\n",dp[1][1]);
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        int t;R1(t);
        while(t--)
        {
            Input();
            Soviet();
        }
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}
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