洛谷 2680 运输计划 题解

题意简述

$n$个点的边带权树，给$m$条关键的链。把树上一条边的权值变为0，使得$m$条链的和中，最大值最小。 $n,m<=1e5$。

思路

二分最大值$k$。现在考虑如何检验一个$k$。

找到所有链和$>k$的链，设这里面最长的链长度为$S$，有$C$条这样的链。用树链剖分找到被所有$C$条链都覆盖的边。设边权为$w$，如果$S-w<=k$，又因为这条边被所有和$>k$的链都覆盖了，所以，将这条边边权设为$0$，就珂以把所有和$>k$的链修♂正回来。那就满足条件了，检验结果为true。

然后就这样二分即珂。

关于如何求被所有链都覆盖的边

如果您足够明智，跳过这个部分好了。

开一颗临时的树，所有边权为$0$，树链剖分维护：对于所有和$>k$的链$(a,b)$，在链上的边权都+1。

然后只要找边权$=C$的边即珂。

但是树链剖分维护的是点权，怎么把边权转化成点权呢？只要把一条边的权值，记录在这条边的儿子上即珂。然后我们对于链$(u,v)$作加法操作的时候，记得把$LCA(u,v)$的操作给撤回掉（就是减掉），因为这个是多算的。

代码

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#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define int long long 
    #define N 355555
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    class Graph //图
    {
        public:
            int head[N];
            int EdgeCount;
            struct Edge
            {
                int To,Label,Next;
            }Ed[N<<1];
            void clear(int _V=N,int _E=N<<1) 
            {
                memset(Ed,-1,sizeof(Edge)*(_E));
                memset(head,-1,sizeof(int)*(_V));
                EdgeCount=-1;
            }
            void AddEdge(int u,int v,int w=1)
            {
                Ed[++EdgeCount]=(Edge){v,w,head[u]};
                head[u]=EdgeCount;
            }
            void Add2(int u,int v,int w=1) {AddEdge(u,v,w);AddEdge(v,u,w);}
            int Start(int u) {return head[u];}
            int To(int u){return Ed[u].To;}
            int Label(int u){return Ed[u].Label;}
            int Next(int u){return Ed[u].Next;}
    }G;
    class BIT //树状数组
    {
        public:
            int tree[N];
            int len;
            void BuildTree(int _len)
            {
                len=_len;
                FK(tree);
            }
            void Add(int pos,int val=1)
            {
                for(int i=pos;i<=len;i+=(i&(-i)))
                {
                    tree[i]+=val;
                }
            }
            void RAdd(int l,int r,int val=1) {Add(l,val);Add(r+1,-val);}
            int Query(int pos)
            {
                int ans=0;
                for(int i=pos;i>0;i-=(i&(-i)))
                {
                    ans+=tree[i];
                }
                return ans;
            }
    }T;
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    int n,m;
    int a[N],b[N];
    void Input()
    {
        R1(n),R1(m);
        G.clear();
        int u,v,w;
        F(i,1,n-1) R1(u),R1(v),R1(w),G.Add2(u,v,w);
        F(i,1,m) R1(a[i]),R1(b[i]);
    }

    int fa[N],deep[N],size[N],dis[N];
    int son[N],val[N]; 
    //val[i]: i和fa[i]之间的边权，就是上面说的，“把边权记录在该边的儿子上”
    //dis[i]: i到根节点的带权距离（就是经过的所有边权的和）
    void DFS1(int u,int f)
    {
        fa[u]=f; 
        deep[u]=(u==f)?0:deep[f]+1;
        dis[u]=(u==f)?0:dis[f]+val[u]; 
        size[u]=1;
        son[u]=-1;int Max=-1;
        Tra(i,u)
        {int v=__v;
            if (v!=f)
            {
                val[v]=G.Label(i);
                DFS1(v,u);
                size[u]+=size[v];
                if (size[v]>Max) {Max=size[v];son[u]=v;}
            }
        }
    }
    int DFSid[N],top[N],Time=0;
    void DFS2(int u,int topu)
    {
        DFSid[u]=++Time;
        top[u]=topu;
        if (son[u]==-1) return;
        DFS2(son[u],topu);
        Tra(i,u)
        {int v=__v;
            if (v!=fa[u] and v!=son[u]) DFS2(v,v);
        }
    }
    int LCA(int u,int v) //树剖求LCA （真的只是个LCA，没别的）
    {
        while(top[u]!=top[v])
        {
            if (deep[top[u]]<deep[top[v]]) swap(u,v);
            u=fa[top[u]]; 
        }
        return deep[u]<deep[v]?u:v;
    }
    int PathLen(int u,int v){return dis[u]+dis[v]-2*dis[LCA(u,v)];} //求链<u,v>的带权长度
    void PathAdd(int u,int v,int w=1)
    {
        while(top[u]!=top[v])
        {
            if (deep[top[u]]<deep[top[v]]) swap(u,v);
            T.RAdd(DFSid[top[u]],DFSid[u],w);
            u=fa[top[u]];
        }
        if (deep[u]>deep[v]) swap(u,v);
        T.RAdd(DFSid[u],DFSid[v],1); //常规树剖操作

        int L=LCA(u,v);
        T.RAdd(DFSid[L],DFSid[L],-1); //把多算的减掉
    }
    int Maxlen;
    bool cxk(int k)
    {
        T.BuildTree(n);
        int cnt=0;
        F(i,1,m) if (PathLen(a[i],b[i])>k) //如果这条边权值过大
        {
            ++cnt;
            PathAdd(a[i],b[i],1);
        }
        
        F(i,1,n) 
        {
            if (T.Query(DFSid[i])==cnt and Maxlen-val[i]<=k) 
            // T.Query(DFSid[i])==cnt表示i和fa[i]这条边被所有的该修正的边覆盖了
            //Maxlen-val[i]<=k表示，我能修正所有该修正的边
            {
                return true; //所以这个时候把(i,fa[i])这条边权值设为0，就满足条件了。
            }
        }
        return false;
    }
    void Soviet()
    {
        DFS1(1,1);
        DFS2(1,1);
        Maxlen=-1; F(i,1,m) Maxlen=max(Maxlen,PathLen(a[i],b[i])); //Maxlen珂以提前求，少掉一个m
        T.BuildTree(n);
        int l=0,r=1e9; //注意：l=0（我一开始就是这样写的，没WA过，但是我猜写l=1会WA几个点）
        while(l<r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if (cxk(mid)) r=mid;
            else l=mid+1;
        }
        printf("%lld\n",l);
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
    #undef int //long long 
}
int main(){
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}