洛谷 5020 货币系统 题解

题意简述

一个货币系统由长度为$n$的正整数序列$a$组成。每个数珂以用无限次。定义两个货币系统是等价的，对于任意一个正整数$x$，要么两个都能凑出$x$，要么两个都不能。

给定一个货币系统$(n,a)$，$n<=100$，$a_i<=25000$，请你求出一个和它等价的货币系统，使得这个货币系统中不同货币的数量最少。输出这个最少的数量。

思路框架

如果货币系统中有一个数珂以被别的凑出来，就珂以去掉它。完全背包维护即珂。

具体思路

显然$a$的顺序无关紧要，于是排个序。

设$cxk[i]$表示$i$能否被凑出来，$0$表示能，$1$表示不能。

显然答案不会超过$n$，因为显然自己和自己是等价的。初始时，设答案为$n$。

枚举每个$a_i$。如果$cxk[a_i]=1$，说明$a_i$没用，去掉。然后用完全背包更新一下即珂。

实现注意

1. 节省空间，cxk珂以开成bitset类型
2. 注意边界：cxk[0]=1

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 122
    #define V 255555
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)

    int n,a[N];
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Input()
    {
        R1(n);F(i,1,n) R1(a[i]);
    }

    bitset<V> cxk;
    void Soviet()
    {
        sort(a+1,a+n+1);
        int ans=n;

        F(i,0,V-1) cxk[i]=0;
        cxk[0]=1;
        F(i,1,n)
        {
            if (cxk[a[i]])
            {
                --ans;continue;
            }
            F(j,a[i],a[n]) cxk[j]=cxk[j]|cxk[j-a[i]];
        }
        printf("%d\n",ans);
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        int t;cin>>t;
        while(t--)
        {
            Input();
            Soviet();
        }
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}