洛谷 5631 最小mex生成树

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题意简述

mex(S)表示集合S中没有出现的最小自然数。给定一个n个点m条边的带权无向图，求生成一颗树，使得边权集合的mex值最小。

n<=1e6,m<=2e6。边权范围是1e5。

思路

暴力思路：检验一个值x，把边权不等于x的边权加入，判断是否能生成树

小小优化：先把边按边权排序。然后用分治法，$calc(l,r)$表示：边权在$[l,r]$之间的边没有加入。每次添加$[l,mid]$求$[mid+1,r]$，添加$[mid+1,r]$求$[l,mid]$，递归求解，即珂。可撤销并查集维护。固定范围内的边权，显然具有单调性。传参数的时候再传一个单调指针。这样就不会在找边上浪费时间。

时间复杂度$O(nlogmlogw)$。然鹅完全跑不满，所以能过。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 2000006
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Rd(int cnt,...)
    {
        va_list args;
        va_start(args,cnt);
        F(i,1,cnt) 
        {
            int* x=va_arg(args,int*);R1(*x);
        }
        va_end(args);
    }
    class DSU
    {
    public:
        int Fa[N],Cnt[N];
        void Init(){F(i,0,N-1) Fa[i]=i,Cnt[i]=1;}
        int Find(int x){return Fa[x]==x?x:Fa[x]=Find(Fa[x]);}
        int Merge(int u,int v)
        {
            int au=Find(u),av=Find(v);
            if (au==av) return 0;
            if (Cnt[au]<Cnt[av]) {Cnt[av]+=Cnt[au],Fa[au]=av;return au;}
            else                 {Cnt[au]+=Cnt[av],Fa[av]=au;return av;}
        }
        void Del(int u){Cnt[Fa[u]]-=Cnt[u],Fa[u]=u;}
        //与正常并查集不同，有删除操作
    }D;
    struct node{int u,v,w;}E[N]; bool operator<(node a,node b){return a.w<b.w;}
    int n,m;
    void Input()
    {
        Rd(2,&n,&m);
        F(i,1,m) Rd(3,&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w);
    }

    void calc(int l,int r,int pos) //pos：单调指针
    {
        if (l==r)  //只有一个没有加入
        {
            //能形成生成树
            if (D.Cnt[D.Find(1)]==n) {printf("%d\n",l);exit(0);}
            return;
            //由于我们是先求[l,mid]，再求[mid+1,r]，所以到l==r的时候，应该是先找到小的，再找到大的（类似线段树）
            //那么，只要找到第一个就珂以exit(0)了
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        
        int cur=pos,tmp=0; //加入[mid+1,r]，求[l,mid]的解
        vector<int> v;
        for(;E[pos].w<=r and pos<=m;++pos) //加入[mid+1,r]之间的边
        //用一个vector记录我们加入的哪些边（方便撤销）
        {
            if (E[pos].w>mid and (tmp=D.Merge(E[pos].u,E[pos].v))) v.p_b(tmp); 
        }
        calc(l,mid,cur);
        D(i,sz(v)-1,0) D.Del(v[i]); //记得撤销
        v.clear();

        pos=cur,tmp=0; //同理，加入[l,mid]的边，求[mid+1,r]的解
        for(;E[pos].w<=mid and pos<=m;++pos) 
        {
            if (tmp=D.Merge(E[pos].u,E[pos].v)) v.p_b(tmp);
        }
        calc(mid+1,r,pos);
        D(i,sz(v)-1,0) D.Del(v[i]);
        v.clear();
    }
    void Soviet()
    {
        sort(E+1,E+m+1);
        D.Init();
        calc(0,E[m].w,1);
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}
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