51nod 1105 第k大的数 题解

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题意简述

有两个序列$a$和$b$，长度都是$n<=1e5$，并且$a_i,b_i<=1e9$。然后有一个矩阵$A$，其中$A[i][j]=a_i\times b_j$。找到矩阵中第$k$大的元素$k<=1e9$且$k<=n^2$。

思路

二分一个$mid$，然后找$A$中有多少个数大于$mid$。显然，$mid$越大，大于$mid$的个数就越小，满足单调性。

在一个都是整数的集合中，$x$是第$k$大，那么$x$是最小的满足大于$x$的数小于$k$个的。二分即珂。

具体思路

主要问题在于，我们如何求$A$中有多少个数比$x$大。

我们把$a$和$b$排一下序。原因是，我们只需要求$A$中第$k$大，只需要知道有哪些数就珂以了，具体的排列顺序不重要。

而排完了序以后，$A$矩阵的递增性应该是从上往下，从左往右的。（就是说，越靠下，右方的数的越大）。那么，$>x$的数所在的区域就是右下角的一片三角形区域。草图大概就长这样：

设$p_i$表示第$i$行第一个满足条件的列号，那么该行满足条件的总数量就是$n-p_i+1$。而且，$p_i$还有单调性！维护一个单调的指针即珂（数组都不用！）

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 155555
    #define int long long 
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Rd(int cnt,...)
    {
        va_list args;
        va_start(args,cnt);
        F(i,1,cnt) 
        {
            int* x=va_arg(args,int*);R1(*x);
        }
        va_end(args);
    }

    int n,k;
    int a[N],b[N];
    void Input()
    {
        Rd(2,&n,&k); 
        F(i,1,n) Rd(2,&a[i],&b[i]);
    }

    int big(int x) //求有多少个比x大
    {
        int ans=0;
        int p=1; //单调指针p
        D(i,n,1)
        {
            while(a[i]*b[p]<=x and p<=n) ++p; //p显然只会往右移
            if (p==n+1) break; //记得及时break掉，现在就没有解，往上面数字更小，更加没有解了
            ans+=(n-p+1);
        }
        //i会右移n次
        //p会右移总共n次
        //均摊O(n)
        return ans;
    }
    void Soviet()
    {
        sort(a+1,a+n+1); sort(b+1,b+n+1);
        a[n+1]=1e9,b[n+1]=1e9; //放一个边界，防止p越界

        int l=0,r=1e18;
        while(l<r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if (big(mid)<k) r=mid; //有<k个比mid大，说明mid偏大（或者正好），要减小
            else l=mid+1; //否则mid严格偏小
        }
        printf("%lld\n",l);
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
    #undef int //long long 
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}
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