bzoj 5102 [POI2018]Prawnicy 题解

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题意简述

给你 $n$ 个区间 $[l_i,r_i]$，选出 恰好 $k$ 个，使得交集最大。输出最长的长度和方案。

注：区间 $[l,r]$ 的长度被定义为 $r-l$。

$1\le k\le n\le 10^5$。

思路框架

若干的区间的交集，显然，左端点是所有左端点的最大值，右端点是所有右端点的最小值。

然后我们枚举左端点的最大值。怎么枚举呢？按左端点从小到大排序，枚举到 $i$ 表示只能用 $i$ 之前的区间。那么所有的左端点就都 $\le l_i$ 了。

然后这个时候我们怎么选最大值呢？

  1. 我们只能在 $1\sim i$ 中选
  2. 选择 $k$ 个使得最小值最大

怎么选择 $k$ 个使得最小值最大呢？那肯定是从大到小排序之后选前 $k$ 个啊！然后这时候最大的最小值，就是从大到小之后排第 $k$ 位的数。那么我们现在就是要支持动态插入（无删除）的第 $k$ 大。可以用对顶堆做。

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对顶堆如何做

维护一个小根堆（堆顶是最小值），和一个大根堆（堆顶是最大值）。我们默认把数字插入到小根堆中，如果小根堆中的数字个数 $>k$，那么我们把小根堆中的 最小值 放到大根堆里。

那么有一个显然易证的性质：大根堆中的所有数，任何时候都 $\le$ 小根堆中的所有数。也就是，大根堆的堆顶 $\le$ 小根堆的堆顶。

而且我们还保证了小根堆中只有 $k$ 个数。那么这 $k$ 个数 $\ge$ 当前的其它所有数，显然，这 $k$ 个数字就是前 $k$ 大。求出这 $k$ 个数中的最小值（小根堆顶），就是当前的第 $k$ 大。

这个办法也可以用于求中位数 （也就是 $k$ 不一定静态，单调递增的情况也可以求）

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 1666666
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),v=G.To(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define all(a) a.begin(),a.end()
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    int I()
    {
        int x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        return (x=(f==1)?x:-x);
    }
    void Rd(int cnt,...)
    {
        va_list args; va_start(args,cnt);
        F(i,1,cnt) {int* x=va_arg(args,int*);(*x)=I();}
        va_end(args);
    }
 
    struct node{int l,r,id;} a[N];
    bool operator<(node a,node b){return a.l<b.l;}
 
    int n,k;
    void Input()
    {
        Rd(2,&n,&k);
        F(i,1,n) a[i]=(node){I(),I(),i};
    }
 
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > Q1; // 小根堆
    priority_queue<int> Q2; // 大根堆
    void Soviet()
    {
        sort(a+1,a+n+1);
        int Max=-0x3f3f3f3f,l,r;
        F(i,1,n)
        {
            Q1.push(a[i].r);
            if (sz(Q1)>k) 
            // 其实这里理论上应该是个 while 循环
            // 然而实际上我们每次只会新加入一个数，那么 sz(Q1) 顶多等于 k+1，弹一次即可
            // 写中位数的话，这里要改成 while !
            {
                Q2.push(Q1.top()); Q1.pop();
            }
             
            if (i>=k) // 这里注意判一下 i>=k，很重要，会出错！ （我就挂在这的QaQ
            {
                int rr=Q1.top(),ll=a[i].l;
                if (rr-ll>Max)
                {
                    Max=rr-ll; l=ll; r=rr;
                }
            }
        }
        printf("%d\n",Max);
        int cnt=0;
        F(i,1,n) 
        {
            if (a[i].l<=l and r<=a[i].r) 
            {
                printf("%d ",a[i].id);
                ++cnt;
            }
            if (cnt==k) break;
        }
    }
 
    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}
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