洛谷-4492-HAOI2018-苹果树-题解

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先膜一发 shadowice1984的题解，太神了！

题意简述

你有一个 $n$，表示你的二叉树将要有 $n$ 个节点。然后每次你的树会等概率选择某个点的还没长过的儿子，在这里长一个儿子。容易证明，这样有 $n!$ 种方案。

（第一次有一种方案，第二次两种，第三次三种…一共就是 $n!$ 种）

然后你要输出树上路径和的期望值乘以 $n!$ 后 $\bmod{p}$ 的值。

$n,p$ 给定，满足：$n\le 2000,p\le 10^9+7$

思路

考虑每条边的贡献：如果树是确定的，那么从 $i$ 连向 $i$ 父亲的边，的贡献是 $size_i(n-size_i)$。其中 $size_u$ 表示 $u$ 的子树大小。枚举 $i$，把这个式子加起来就是答案了。

然后我们现在树是不确定的…注意到 $n\le 2000$，所以我们考虑再加一维枚举 $size$。关键就是，如何计算点 $i$ 的子树里有 $size$ 个点的树的方案数？

考虑点 $i$ 子树内，有 $size!$ 种生成的形态。然后我们选择哪些点呢？这个方案数有 $C_{n-1}^{size-i}$ 种。

这一部分答案为 $size!\times C_{n-i}^{size-1}$。

考虑点 $i$ 子树外。在树生成到 $i$ 之前，有 $i!$ 种方案。然后我们后面的 $n-i-size+1$ 个点，还要保证不能放到 $i$ 子树内。然后第一次有 $i-1$ 种方案，第二次 $i$ 种，第 $k$ 次有 $i-k+2$ 种方案。一共就是 $(i-1)i(i+1)(i+2)…(n-size-1)$ 种方案。

这一部分答案为 $i!\times (i-1)i(i+1)(i+2)…(n-size-1)=(n-size-1)!\times i (i+1)$

于是，枚举 $i,size$ 后，总共的答案就是

$size(n-size) \times size!C_{n-i}^{size-1}\times i(i-1)(n-size-1)!$

$i$ 从 $2$ 到 $n$，$size$ 从 $1$ 到 $n-i+1$，求和即可

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
	#define N 2333
	#define int long long 
	#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
	#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
	#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
	#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
	#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
	#define FK(x) MEM(x,0)
	#define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),v=G.To(i))
	#define p_b push_back
	#define sz(a) ((int)a.size())
	#define iter(a,p) (a.begin()+p)
	int I()
	{
	    int x=0;char c=getchar();int f=1;
	    while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
	    while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	    return (x=(f==1)?x:-x);
	}
	void Rd(int cnt,...)
	{
	    va_list args; va_start(args,cnt);
	    F(i,1,cnt) {int* x=va_arg(args,int*);(*x)=I();}
	    va_end(args);
	}

	// ==================== 预处理阶乘,组合数
	int C[N][N],fac[N];
	int mod;
	void Init()
	{
		int n=2000;
		C[0][0]=fac[0]=1;
		F(i,1,n)
		{
			fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

			C[i][0]=1;
			F(j,1,i) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
		}
	}
	// ====================
	
	int n;
	void Input()
	{
		Rd(2,&n,&mod);
	}

	int InSubtree(int i,int size) {return C[n-i][size-1]*fac[size]%mod;}
    // 在子树内的方案
	int OutSubtree(int i,int size) {return fac[n-size-1]%mod*i%mod*(i-1)%mod;}
    // 在子树外的方案
	void Soviet()
	{
		int ans=0;
		F(i,2,n) F(size,1,n-i+1)
		{
			int cur=size*(n-size)%mod;
			cur=cur*InSubtree(i,size)%mod;
			cur=cur*OutSubtree(i,size)%mod;
			ans=(ans+cur)%mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}

	#define Flan void
	Flan IsMyWife()
	{
		Input();
		Init();
		Soviet();
	}
	#undef int //long long
}
int main()
{
	Flandre_Scarlet::IsMyWife();
	getchar();getchar();
	return 0;
}
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