洛谷 6070 [RC-02]GCD 题解

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题意简述

求$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} \sum\limits_{p=1}^{n/j} \sum\limits_{q=1}^{n/j} [gcd(i,j)==1][gcd(p,q)==1]$。答案对998244353取膜。

$n<=2e9$。

思路

原式
$=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} [gcd(i,j)==1]\sum\limits_{p=1}^{n} \sum\limits_{q=1}^{n} [gcd(p,q)==j]$
$=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{p=1}^{n} \sum\limits_{q=1}^{n} [gcd(i,p,q)==1]$
$=\sum\limits_{d=1}^{n}\mu(d) \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{p=1}^{n} \sum\limits_{q=1}^{n} [d|gcd(i,p,q)]$
$=\sum\limits_{d=1}^{n}\mu(d) \sum\limits_{i=1}^{n/d} \sum\limits_{p=1}^{n/d} \sum\limits_{q=1}^{n/d} [1|gcd(i,p,q)]$
$=\sum\limits_{d=1}^{n} \mu(d)\times (n/d)^3$

整除分块+杜教筛。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 1666666
    #define int long long 
    #define mod 998244353ll
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Rd(int cnt,...)
    {
        va_list args;
        va_start(args,cnt);
        F(i,1,cnt) 
        {
            int* x=va_arg(args,int*);R1(*x);
        }
        va_end(args);
    }

    int primes[N],mu[N];bool notp[N];
    void Init()
    {
        int n=1e6;
        notp[1]=1; mu[1]=1;
        int &cnt=primes[0];
        F(i,2,n)
        {
            if (!notp[i]) primes[++cnt]=i,mu[i]=-1;
            for(int j=1;j<=cnt and i*primes[j]<=n;++j)
            {
                int u=primes[j];
                notp[i*u]=1;
                if (i%u) mu[i*u]=-mu[i];
                else {mu[i*u]=0;break;}
            }
        }
        F(i,2,n) mu[i]+=mu[i-1];
    }
    map<int,int> s; 
    int smu(int x) //求mu的和
    {
        if (x<=1e6) return mu[x];
        if (s[x]) return s[x];
        int ans=1;
        for(int l=2,r;l<=x;l=r+1)
        {
            r=x/(x/l);
            ans-=(r-l+1)*smu(x/l);
        }
        ans=(ans%mod+mod)%mod;
        return s[x]=ans;
    }

    int n;
    void Input()
    {
        R1(n);
    }
    int RangeMu(int l,int r){return (smu(r)%mod-smu(l-1)%mod+mod)%mod;} //求区间[l,r]内mu的和，膜mod
    int pow3(int x){return x*x%mod*x%mod;} //求x^3%mod
    void Soviet()
    {
        int ans=0;
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
        {
            r=n/(n/l);
            ans+=RangeMu(l,r)*pow3(n/l)%mod;
            ans%=mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Init();
        Input();
        Soviet();
    }
    #undef int //long long 
}
int main(){
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}
w