博弈论(van♂游戏) 笔记

前言

会持续更新的呢，毕竟博弈论是个毒瘤啊。

其实不要以为博弈论很变态，它是很有趣的。能理解透的话，一点都不难。其实，博弈论的本质，就是教你van♂游戏啊！

从一个简单的问题（Nim）入手

有n堆石子，你每次珂以从某一堆中取出若干个石子。先后手轮流操作。如果某个人把石子取完了，那就赢了。换句话说，如果某个人没有石子取了，那就输了。
先手有必胜策略么？

我们遇到什么问题，也不要怕，暴力的面对它！消除AC的最好办法就是爆搜！加油，TLE！

最强的数据是$n<=1e5$，石子数$<=1e18$。而我们只需要两三行代码就能解决问题。爆搜都没有这么短。

我们考虑把每一堆石子的数量二进制拆分。（为什么是二进制？因为二进制只有$0$和$1$，没有系数，方便考虑）比如$7$就变成$4+2+1$。

我们把它变成一个$n$行$loga$列的矩阵。比如$a={3,4,7}$，变成：

0 1 1
1 0 0
1 1 1

考虑先手必败的情况：每一列上的数和都是偶数时，必败。
（珂朵莉第一博弈定理）

证明：每一列和均为偶数时，先手必败

对于某个$a_i$，我们把它减去某个数，就相当于把$a_i$某一些位置上的0/1变成了1/0。
那么我们找一个最高位不低于$a_i$的$a_j$，把相同的位置上的0/1也变成1/0。
（由于每一列的和都是偶数，所以我们肯定能找到一个最高位不低于$a_i$的$a_j$）
这样一波操作，每一列的和肯定还都是偶数。先手能操作，后手就一定能操作。后手操作到最后一步，先手就没了。而且先手肯定赢不了。

证毕

所以除了这样以外，肯定是先手必胜。也能想象出必胜策略：把某一堆石子拿掉一些，让剩下的局面变成必败型，然后留给后手下。根据上面的“珂朵莉第一博弈定理”，后手必败，所以先手必胜。

组合游戏

都尼玛是定理。自己查资料，或者参考刘汝佳的《算法竞赛入门经典——训练指南》（小蓝书）。要电子稿的联系3348064478@qq.com，我会友情赞助的。

把别的游戏转化成Nim游戏

Nim游戏的精髓在于几个关键词：

1. “减少”
2. 没了就赢了

这里，减少打上了引号。因为减少，珂以是各种你想不到的形式，比如说把某个数变成它的一个因数，也是一种“减少”。（本质就是，把它分解质因数，然后减少了几个项的指数）。
当然，减少了什么变量，也是一个珂以转化的点。举几个刘汝佳书上的例子罢。

翻棋子游戏

有一个n行m列的01矩阵。每次珂以选一个为1的位置(x,y)，把它和同一行/列上，且在严格左/上方位置的一个位置，同时翻转（异或1）。不能操作就输了。先手还是后手必胜。

解法

把一个为1的位置上的(x,y)看成两堆大小为x和y的石子。原因：同一行/列，就是告诉你只能改变x，y中的一个。严格左/上方告诉你必须要是减小。好的，到这一步就能理解为什么这样能转化成Nim了。

除法游戏

n行m列的矩阵，每一行有一些正整数。先后手轮流操作。每次选择同一行中，若干个元素，把这些数都变成它们的某个真因子（就是不等于自己，而且是自己的因数）。不能操作的输。

（PS：1没有真因子）

解法

把每一行的所有数的质因数的指数和相加。原因：真因子相当于减少某一项质因数的指数。同一行只是唬你的幌子。只要把同一行的加起来就珂以了。