noi.ac 73 道路重建 题解

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题意简述

有一个$n$个节点的图，还有$m$条边。找到一颗生成树，使得最大边和最小边之间差最小。

n<=2000，m<=15000，边权<=2e9。

思路框架

边按边权排序；枚举最小边，枚举最大边，直到联通为止$break$。并查集维护。

看起来是$O(m^2)$，但实际情况会快很多。

具体思路

上面没有细讲的，有一个小优化：
我们枚举边$i$，$j$从$i$到$m$枚举最大边。

如果$j=m$了，而且此时图还不连通，就直接整个$break$。因为$i$越大，加入的边越少，就更加不连通了。

而且数据似乎比较水，所以对于每个$i$，往后枚举$n$个$j$左右，图就能完全联通了。所以实际跑起来，复杂度更接近$O(nm)$。

然后这题就水过去了。

代码

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#include <bits/stdc++.h>using namespace std;namespace Flandre_Scarlet
{    #define N 34444ll
    #define int long long 
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))    #define FK(x) MEM(x,0)    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Rd(int cnt,...)
    {
        va_list args;
        va_start(args,cnt);
        F(i,1,cnt) 
        {
            int* x=va_arg(args,int*);R1(*x);
        }
        va_end(args);
    }
    struct node{int u,v,w;}E[N]; bool operator<(node a,node b){return a.w<b.w;}
    class DSU
    {
    public:
        int Fa[N],Cnt[N];
        void Init(int n){F(i,1,min(n,N-1)) Fa[i]=i,Cnt[i]=1;}
        int  Find(int u){return u==Fa[u]?u:Fa[u]=Find(Fa[u]);}
        bool Merge(int u,int v)
        {
            int au=Find(u),av=Find(v);
            if (au==av) return false;
            if (Cnt[au]<Cnt[av]) Cnt[av]+=Cnt[au],Fa[au]=av;
            else                 Cnt[au]+=Cnt[av],Fa[av]=au;
            return true;
        }
    }D;

    int n,m;
    void Input()
    {
        Rd(2,&n,&m);
        F(i,1,m)
        {
            int u,v,w;Rd(3,&u,&v,&w);
            E[i]=(node){u,v,w};
        }
        sort(E+1,E+m+1);
    }

    void Soviet()
    {
        int ans=1e18;
        F(i,1,m) //枚举最小边
        {
            D.Init(n);
            int pos=-1;
            F(j,i,m) //枚举最大边
            {
                int u=E[j].u,v=E[j].v;
                D.Merge(u,v);
                if (D.Cnt[D.Find(1)]==n) {pos=j;break;}
            }
            if (pos==-1) break;
            else ans=min(ans,E[pos].w-E[i].w);
        }
        printf("%lld\n",ans==1e18?-1:ans);
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }    #undef int //long long }int main(){
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;}
w